Context APIかRedux等を使って値を保持しようしたら、毎回初期化されたので原因を調べました。
その過程で、遷移時に画面全体が書き変わっている（普通の遷移やリロードと同じ状態）になっている事に気付いたので、メモしておきます。

• 状態
• 原因
• 暫定対応
• 恒久対応
• 今回のコミット内容

状態

画面全体が書き換わる
リンクやリンクのボタンクリック時に、コンソールやネットワークが初期化される。

期待値：DOMが書き換わる
リンクやリンクのボタンクリック時に、コンソールやネットワークが初期化されない。
書き換える箇所のみ取得される。

原因

Material UIのLinkだけを使ってしまった為、AppRouterCacheProviderが効かなかった。
こちらでデザインは適用されますが、普通のaリンクの挙動でNextLinkではないので、DOMの書き換えは行われない。なので、hrefはNextLinkで渡してあげる必要がある。

暫定対応

src/app/components/SignUp.tsx

+ import NextLink from 'next/link'
import Link from '@mui/material/Link'

-    <Link href="/users/sign_in">{t('ログイン')}</Link>
+    <NextLink href="/users/sign_in" passHref legacyBehavior>
+      <Link>{t('ログイン')}</Link>
+    </NextLink>

Buttonでhrefを渡す場合も同様にNextLinkにする必要がある。

+ import NextLink from 'next/link'
import Button from '@mui/material/Button'

-    <Button href="/users/sign_up" variant="contained">{t('無料で始める')}</Button>
+    <NextLink href="/users/sign_up" passHref legacyBehavior>
+      <Button variant="contained">{t('無料で始める')}</Button>
+    </NextLink>

passHref

Components: | Next.js

Forces 'Link' to send the 'href' property to its child. Defaults to 'false'

リンクに href プロパティを子に送信するよう強制します。デフォルトは false です。

legacyBehavior

Components: | Next.js

An '<a>' element is no longer required as a child of '<Link>'.
Add the 'legacyBehavior' prop to use the legacy behavior or remove the '<a>' to upgrade.
A codemod is available to automatically upgrade your code.

<a> 要素は、<Link> の子として必要ではなくなりました。
legacyBehavior プロパティを追加して従来の動作を使用するか、<a> を削除してアップグレードしてください。
コードを自動的にアップグレードするための codemod が利用可能です。

未設定の場合、下記Warningが出ます。

Warning: Expected server HTML to contain a matching <a> in <a>.

恒久対応

componentでNextLinkを渡してあげるだけでOKだった。

+ import NextLink from 'next/link'
import Link from '@mui/material/Link'
import Button from '@mui/material/Button'

    <Link
+     component={NextLink}
      href="/users/sign_in"
    >
      {t('ログイン')}
    </Link>

    <Button
+     component={NextLink}
      href="/users/sign_up"
      variant="contained"
    >
      {t('無料で始める')}
    </Button>

今回のコミット内容

遷移時にDOMが書き換わらない