新規でWordPressサーバーを構築。サブドメイン型でマルチサイトに設定。
メインサイトは問題なく動作。サブドメインサイトで[プレビュー]や[公開]を押すと下記メッセージが表示されて更新できず。

更新に失敗しました。エラーメッセージ: 返答が正しいJSONレスポンスではありません。

調査

とりあえず、同様の人がいないかググってみたが見つからず。
デベロッパーツールのNetworkで何がエラーになっているか確認。

/wp-json/〜 は、WordPress 4.7からREST APIに対応している。

mixed contentでエラーになっている。
つまり、httpsページ内からhttpにアクセスしている。

対応

下記をhttpsに変更し解決（＝投稿できるようになった）